类别:大学家教 / 日期:2022-11-28 / 浏览:73 / 评论:0

拉莫尔(英国物理学家和数学家,在对电,力气学,热力学和物质电子理-论的领会方方面面举行了改良)对最小结局理由有一种猛烈的.近乎神奇的忠实……对他来说,这是最终的自-然准则——宇宙的主要力气呀。——阿瑟·爱丁顿
两个粒子拥有质量M₁和M₂,在半径为R的环形上无磨擦滑动呀。两个质点通过弹簧上的圆弧A联接起身,圆弧A的弹簧系数是k₁,自-然长度是 a₁ 阿;圆弧B的弹簧系数是k₂,自-然长度是a₂呀。弹簧平放在桌子上呀。
假设乞求咋们找出质点的行-动方程呀。准则上,牛顿的行-动定律足以处置这个疑呀。但在实践中,用牛顿定律为一位繁杂的体制寻找行-动方程是难题的呀。即便这个疑与现实世界中机械体制的繁杂性对比也显得微乎其微呀。
当咋们觉察一位疑太难时,一位好的处置办法是尝试更改咋们对这个疑的看法呀。但咋们应该采用什么样的新视角吗?
咋们从光学钻研中获得了一位使人赞叹的谜底呀。
费马最短时刻理由
反射光的基本定律自古以来就已为人所知呀。当一束光入射到反射面上时,入射角即是反射角
亚历山大港的希罗(希腊数学家和工程师)能够或者者从这个现实证实光线所走的途径是她从源泉.镜子到目的地的最旅程径呀。也即是说,给定点A和C,光线在点B从镜子上反射,使得途径的长度最小呀。
古代的人无法处置的是折射的疑呀。当一束光入射到分散两种区别物质(典型的按例是空-气和水)的表-面时,光线会发生蜿蜒呀。
离开A点的一束光,抵达B点的水面,最终抵达C点,并非走A点和C点之中最短的途径呀。
有关入射角和折射的定律被称为斯涅尔定律,以威勒博德·斯涅利乌斯(1580-1626)命名,只管她刚最先是由伊本·萨尔在公元984年觉察的呀。她指出
这个内里n是每一种介质的折射率呀。这一定律是试验觉察的,缺少理-论论证呀。皮埃尔·德·费马(1607-1665)提出了一位证实呀。费马扩张了古希腊人的觉察(即反射光在两点之中的途径最短),取而代之的是光选择了两点之中最短时刻的途径呀。从这个公设,他能够推导出斯涅尔定律呀。这是中级物理教科书中罕见的训练,我应该会在一篇简练的后续短文中讨论她呀。
费马理由被以为是史书上第一位主要物理想法的按例,自-然界将想法以这样一种办法举行物理历程,以尽力减少这一历程所必-要的一些主要的量呀。固然,这里有无任何超自-然征象发生,这个看法在19世纪就有了牢靠的科-学基本呀。在本文的剩余部-分,咋们将通过拉格朗日形势主义理-论来讨论这一看法呀。
约束条件,狭义坐标和构型空-间
咋们总是能够用笛卡尔坐标(x,y,z)来表现体制的状态,但依照疑的区别,咋们能够选择更有用的变量呀。咋们甚至能够减少咋们必-要思考的变量的数目呀。比如,面上的点P能够一切用极角和方向角(θ,φ)来表现,以下图所示
随意变量q₁,q₂, …,qₙ被称为狭义坐标呀。狭义上说,她们可于是咋们要的任何东-西,只要她们一切指定了体制的状态而且她们之中有无任何函数依赖性呀。狭义坐标的时刻导数称为狭义速率呀。知道应该运用哪些变量是一种直觉技术,惟有通过实践才气懂得呀。
当咋们选择了狭义坐标,咋们就能把体制在随意时刻的状态表现为构型空-间中的一点呀。随着时刻的推移,体制在构型空-间中跟踪的途径称为轨迹呀。
一位机械体制随时刻的演化的疑,能够通过看体制在构型空-间遵照哪一位轨迹来处置呀。
插曲泛函
假设一束光在点A和点B之中沿(x,f(x))给定的平面内途径流传
设v(x)为光速与x的函数,在折射率为n的介质中,v=c/n呀。在这个疑中,n是y的函数,有
当x坐标为正时,途径的y坐标为负,因此咋们能够这样写
咋们不体贴界限上发生了什么
曲线(x,y=f(x))的微分元素的长度为
通过速率v=ds/dt的界说,咋们能够将射线的总流传时刻表现为积分
这个定积分取函数f(x),返回一位数字T,在某种意义上,她是一位取函数的函数而不-是做为输入的变量呀。这样的对-象被称为函数呀。咋们能够将费马最短时刻理由诠释为途径(x,f(x))拥有f(x),使得时刻函数T[f(x)]拥有最小值呀。
正如咋们能够界说函数f(x)对变量x的导数为
咋们能够界说泛函δJ[f(x)]/δf(x)的泛函导数,获适当f(x)被f(x)+η(x)取代时J的转变率,关系式为
函数η称为f(x)的变分,f(x)是一位在积分域界限上消逝的随意函数呀。在本文中,咋们将对以下形势的函数感兴趣
这里,F是由x, F (x)和F ' (x)组成的函数呀。咋们用界说来求J的函数导数呀。
第三行是链式规则呀。第5行是由于f =f (ε=0),第6行是对第5部-分被积函数的第两项举行分部积分的结局呀。由于η在a和b处消逝,这记号着通过消去积分,咋们获得
如果J是f(x)之外的多个函数的函数,只要惟有f(x)是转变得,这也适用呀。为什么吗?让f(x) = (f₁(x), f₂(x), …, fₙ(x)) ,只fₐ有所区别呀。那么J的形势以下
因此惟有fₐ在第(3)行的链式规则中存在呀。
轨道的泛函
令q(t)=(q₁,q₂,…,qₙ)为构型空-间轨迹的职位向量呀。为了从函数的角度剖析轨迹,咋们必-要提出一些依赖于所有体制状态的泛函呀。
势能函数,依赖于所有状态,如果咋们假设体制是守旧的,那么U就不依赖于狭义速率呀。咋们能够用一位简易的函数来表现轨迹上U的平均值
泛函⟨U⟩拥有适用于上一节结局的准确形势,因而
由于U不依赖于速率,最右侧的偏导数消逝了(咋们稍后会用到这个形势),咋们能够写成
由于咋们处置的是守旧体制,咋们能够自-由地界说狭义力
因而
泛函⟨T⟩也拥有上一节公式的准确形势来运用
现在咋们有了一位函数导数的一种可行形势,咋们能够进去现实的物理呀。
拉格朗日方程
守旧体制能够说是通过动能和势能的调换而随着时刻而演化的呀。这是由于一位守旧力结局于体制,将其势能转化为动能,反之亦然呀。
假设沿着轨迹,平均势能为⟨U⟩,轨迹转变一次后,平均势能变成⟨U⟩+∆U呀。因而,轨迹的转变发生了一些格外的能量来奉献体制的平均动能呀。咋们能够推测平均动能的转变量即是平均势能的转变量呀。现在咋们将证实,当任何坐标qₐ变成qₐ+δqₐ时,情形即是这样
如果体制由N个粒子组成,则第i个粒子的动能为
对点积的导数运用乘积规则,咋们获得
依照链式规则
因此
现在咋们思考T对狭义速率的导数呀。根据上述推理
该量的时刻导数为
通过对一切N个粒子投降,咋们觉察
上标S的F表现结局在第i个粒子上的牛顿力是狭义坐标的函数呀。现在我来完结这个证实,证实这个和即是狭义力Fₐ呀。
设A.B为构型空-间中的两个“职位呢”,她们由一条平行于qₐ轴的直线相连呀。关于两个自-由度的情形,这看起身像
这个量从A到B的线积分是
右侧的线积分是第i个粒子qₐ从A到B的职位向量所通过的每一条途径C_i上的线积分,依照界说,这是体制A和B之中的势能差的负值
中心等式是由微积分基本定理提出的呀。
因而
这让咋们完结了证实
这记号着,关于着实轨迹的转变,咋们有
这个积分叫做结局泛函呀。咋们所做的即是证实哈密顿最小结局量理由,即机械体制在构型空-间中的行-动轨迹是使结局泛函最小的轨迹呀。
函数L=T-U十分主要,她有自己的名字,被称为拉格朗日方程呀。咋们获得欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程给出了每逐一位qₐ的行-动方程呀。关于许多主要的机械体制来说,一旦你有了拉格朗日方程,找出行-动方程就很简易了呀。咋们能够说,关于标-准体制状态随时刻演化的一切信息都包罗在拉格朗日量中呀。
什么时刻拉格朗日办法有用吗?
许多主要的力知识题涉及沿牢固表-面或者途径的行-动呀。比如,如果一位质点在面上移动,那么她的职位坐标(x,y,z)知足x²+y²+z²-R²=0呀。能够用f(x,y,z)=0的形势表现的约束称为几多约束呀。
咋们也能够或者者有一位行-动约束呀。正如几多约束制约了粒子的职位一样,行-动约束制约了粒子的速率呀。比如,如果咋们说一位粒子的速率一切在x方向上,那么这是一位行-动学约束,速率的y和z份量为零呀。积分以后,这个行-动约束变成为了一位几多约束,她表现职位的y和z份量是常数呀。当这是应该的,咋们说行-动约束是可积的呀。
拉格朗日方程只适用于惟有几多和可积行-动学约束的体制呀。咋们称这样的体制为一切体制呀。一类主要的非一切约束的按例是比如,如果一位在桌子上,并被一根长度为l的绳子拴在本点上,那么约束是x²+y²≤l²呀。
拉格朗日力学关于守旧力总是有用的呀。有一些时刻她能够扩张到非守旧力,但这一开始不总是一位好方法呀。只管这听起身像是一位弱点和缺点,但现实证实,守旧的一切体制是与十分巨大的,包罗了人们应该会遇到的大大部-分意义的疑呀。
说了这么多,咋们来看一些按例看看拉格朗日形势主义的现实运用呀。
一位钟摆
一位质量m附着在一位长度为l的刚性轻棒的末尾,并发生小角度的振荡呀。
当行-动是两维的时刻,行-动一切能够用角θ来表现呀。从笛卡尔坐标最先,然后举行转换一样平常为个好方法呀。动能为
重力势U=mgy呀。因而
然后咋们用x=lsinθ, y = lcosθ来求狭义坐标θ下的L,用链式规则盘算x导和y导
那么θ的拉格朗日行-动方程为
Sinθ≈θ关于小θ
两个弹簧之中的物体
质量为M的物体在一位方向上去回行-动呀。木块附着在两个相似的弹簧上,弹簧常数为k,自-然长度为a呀。弹簧牢固在墙上,x=±a呀。
将物体视为质点呀。
当x为正时,左侧弹簧被拉伸,当x为负时,左侧弹簧被松缩,因此左侧弹簧的长度是a+x呀。当x为负时,右侧的弹簧被拉伸,当x为正时,右侧的弹簧被松缩,因此她的长度是a-x呀。因而动能和势能为
因此拉格朗日量是
现在咋们把她代入x的欧拉-拉格朗日方程
弹簧上的两个质点
咋们现在最终准备利益理最先一段提出的疑了呀。
让U₁和U₂分-别变成小弧A和大弧B上的弹性势能呀。A和B的弧长分-别为(θ₂-θ₁)R和(2π+θ₁-θ₂)R呀。因此两个弹簧的势能是
质量为m,角速率为ω的质点在本点牢固差异R处转动时,其动能为½mR²ω²,因而动能为
由于L=T-U,拉格朗日量为
为了找出行-动方程,咋们只要要把她代入θ₁和θ₂的欧拉-拉格朗日方程:
因此行-动方程是
用拉格朗日法获得这些方程要比用牛顿定律容简易获得多呀。
结局这一切记号着什么吗?
咋们终究做了什么,为什么要这么难题?
主要的是要知道咋们并有无引入任何新的物理理-论呀。一切关系于力.能量等的基本物理学和谋划都维持不变呀。咋们更改的是咋们的看法呀。咋们采用了这些谋划,并以区别的办法看待她们,因而咋们对这些谋划有了新的领会,和咋们可以使用这些谋划做什么呀。
至于咋们为什么要这么难题,最直-接的谜底是咋们要一位比牛顿定律更简易的办法来剖析某些物理体制呀。但这不-是惟一的本因呀。牛顿定律准则上能够处置典型力学中的任何疑,但关于剖析典型场来说,她是极为拙笨的,而在量子物理中则是毫无意义的呀。另单方方面面,拉格朗日方程,和更普遍的哈密顿理由,能够适用于量子物理呀。咋们将我一篇短文中看到怎么样做到这一点呀。
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诠释一下光在一霎时是怎么样知道或者者找出最旅程径的


做者深入浅出,可怜我水平有限,仍然没看懂~~~


如果泛函剖析对你来说是一门选修课,万万别选啦!!


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